Масъалаи № 49. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}}.\]

Ҳал.

Ба инобат мегирем, ки

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^n = 0\), ки дар ин ҷо \(|a| < 1\),

\(0 \cdot b = 0\) ва \(0 + b = b\), ки дар ин ҷо \(b\) - адади дилхоҳ.

Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\left((-2)^n + 3^n\right)\cdot \frac{1}{3^{n+1}}}{\left((-2)^{n+1} + 3^{n+1}\right)\cdot \frac{1}{3^{n+1}}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1} + 1} = \frac{1}{3}.\]